1. Schritt: Eine Gleichung muss nach einer Variablen aufgelöst werden. Im Beispiel soll die 2. Gleichung nach y umgestellt werden.

2. Schritt: Das Ergebnis wird nun in die jeweils andere Gleichung für die entsprechende Variable eingesetzt. Im Beispiel muss also in der 1. Gleichung die Variable y ersetzt werden. Danach kann die Variable x direkt berechnet werden.

3. Schritt: Die ermittelte Variable wird in das Ergebnis aus dem 1. Schritt eingesetzt, um die 2. Variable zu berechnen. Im Beispiel wird x in die 2. Gleichung eingesetzt und y berechnet.

4. Schritt: Die Angabe der Lösungsmenge erfolgt als geordnetes Paar [x;y].
⇒ L = {[-1; 2]}

Das Einsetzungsverfahren ist für Gleichungssysteme mit zwei Variabel universell einsetzbar und an keine besonderen Voraussetzungen gebunden.

1. Schritt: Da die beiden linken Seiten der beiden Gleichungen aus dem gleichen Term bestehen, kann man die rechten Seiten gleichsetzen. Mit der so entstandenen Gleichung kann man eine Variable berechnen. Im Beispiel erhalten so zunächst den x-Wert.

2. Schritt: Die Lösung wird ein der beiden Gleichungen eingesetzt, um die zweite Variable zu bestimmen. Im Beispiel setzen wir x in die erste Gleichung ein und berechnen y.

3. Schritt: Angabe der Lösungsmenge
⇒ L = {[8; 5]}

Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders effektiv, wenn beide Gleichungen jeweils einen übereinstimmenden Term mit einer Variablen besitzen. Besonders häfig verwendet man dieses Verfahren zum Beispiel zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionen.

1. Schritt: Durch Multiplikation (oder Division) einer Zeile mit einer beliebiegen Zahl muss der Koeffizient einer Variablen in beiden Gleichungen möglichst gleich werden. Im Beispiel wird die zweite Gleichung mit 2 multipliziert, do dass das Gleichungssystem wie folgt erscheint.

2. Schritt: Nun werden die beiden Gleichungen spaltenweise addiert (oder gegebenenfalls subtrahiert). Dadurch entfällt eine der beiden Variablen. Die andere Variabel kann berechnet werden. Im Beispiel hebt sich x auf, der y-Wert kann berechnet werden.

3. Schritt: Das Ergebnis wird eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt, damit auch die zweite Variable bestimmt werden kann. Im Beispiel wird y in die erste Gleichung eingesetzt und x berechnet.

4. Schritt: Angabe der Lösungsmenge
L = {[0; 0,5]}

Das Additionsverfahren kann man dann anwenden, wenn die Koeffizienten durch Multiplikation einer Gleichung gleich gemacht werden können. Bei Gleichungssystemen mit mehr als zwei Variablen und Gleichungen ist es die effektivste Methode.

Alle bereits gelösten Beispielaufgaben auf dieser Seite waren eindeutig lösbar. Die Lösung eines Gleichungssystem besteht stets aus einem georndeten Paar von Zahlen, die aus diesem Grund bei der Angabe der Lösungsmenge auch in eckigen Klammern zu schreiben ist.
Jedes lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen kann geomtrisch in ein Koordinatensystem übertragen werden, in dem dann zwei Geraden entstehen. Die Lösungsmenge von eindeutig lösbaren Gleichungssystemen entspricht dann dem Schnittpunkt der beiden Gerade.

Bei diesem Gleichungssystem bietet sich das Additionsverfahren an. Dadurch erhalten wir:

Diese Aussage ist falsch. ⇒ Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Es existiert kein geordnetes Paar [x;y], das das Gleichungssystem erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer.
Geometrische Deutung:
Die beiden würden im Koordinatensystem parallel zueinander verlaufen. Sie hätten keinen Schnittpunkt.

Auch dieses Gleichungssystem kann mit dem Additionsverfahren am einfachsten gelöst werden. Dabei erhält man folgende Gleichung:

Diese Gleichung ist offensichtlich ein wahre Aussage. ⇒ Das Gleichungssystem hat unendlich viele Löungen. Es existieren unendlich viele Zahlenpaare [x;y], die das Gleichungssystem lösen.
Geometrische Deutung:
Die beiden Geraden sind identisch und liegen im Koordinatensystem aufeinander.

In diesem Fall kann man jedoch eine Lösungsmenge angeben. Dazu wird ein Parameter eingeführt, indem man eine der beiden Variablen als Parameter festsetzt. Beispiellösung: